مقدمة في نظرية ذات الحدين

تساعد نظرية ذات الحدين بشكل أساسي في تقييم التعبيرات الممتدة للصيغة (X + Y) ^ N لأنه من السهل تقييم (X + Y) ² ، (X + Y) ³ و (A) + B + C) ² يمكن أن تكون تم الحصول عليها بضرب عدد المرات في قيمة الأس ، نعني بالحدين تعبيرًا جبريًا يحتوي على مصطلحين مميزين فقط ، على سبيل المثال: (أ + ب) ، (أ + ب) ³ .

من الجدير بالذكر أنه بالنسبة للتعبيرات ذات القيم الأسية العالية ، من الصعب العثور على التوسع كما كان من قبل ، لأنه شاق ويستغرق وقتًا طويلاً ، ولكن يمكننا استخدام ذات الحدين لإيجاد النظرية ، هذا يسمح لنا بإيجاد (X + Y) ^N دون ضرب ذات الحدين في نفسه N مرة.

مبادئ نظرية ذات الحدين

ذُكرت نظرية ذات الحدين لأول مرة في القرن الرابع قبل الميلاد من قبل عالم رياضيات يوناني مشهور يُدعى إقليدس ، حيث نصت على مبدأ توسيع التعبير الجبري (X + Y) ^N وعبّرت عنه على أنه يشتمل على شروط الدعاة المعنيين لـ المتغيرات (X) و (Y) ، حيث يرتبط كل مصطلح في التوسع ذي الحدين بقيمة تسمى المعامل.

تتكون نظرية ذات الحدين من مصطلحين مهمين: معامل ذات الحدين والتوسع ذي الحدين.

معامل ذي الحدين

نحتاج إلى استخدام المجموعات للعثور على المعاملات التي ستظهر في التوسع ذي الحدين ، أي عندما يتم العثور على (X + Y) ^N ، في هذه الحالة سنستخدم تدوين C (N ، R) ، حيث الرمز C (N ، R) يسمى المعامل ذي الحدين ، ويتم التعبير عنه على النحو التالي:

C (N ، R) = N! / (R! (N − R)!)

لكن:

• N ، R: الأعداد الصحيحة الأكبر من أو التي تساوي 0 و N R والمعاملات ذات الحدين هي أعداد صحيحة.

التوسع ذو الحدين

التوسع ذو الحدين هو نتيجة التوسع الضربى لصيغة (X + Y) ^N ، والتي تتضمن معامل ذات الحدين. إذا أردنا توسيع (X + Y) ⁵² ؛ من المحتمل أن نضرب (X + Y) في نفسها 52 مرة ، الأمر الذي قد يستغرق وقتًا طويلاً ، لذلك إذا درسنا بعض التوسعات البسيطة ذات الحدين ، فيمكننا إيجاد واستنتاج الشكل خارج بعض الأنماط التي ستقودنا إلى اختصار للعثور على امتدادات حواف مزدوجة الحواف أكثر تعقيدًا ، على النحو التالي:

^{(X + Y)} N = ∑ C (N، K) (X ^(NK) ) (Y ^K ) = X ^N + C (N، 1) ( ^{X (N – 1)} ) Y + C (N، 2) (X ^{(N – 2)} ) (Y ² ) + … + C (N، N-1) X (Y ^{(N – 1)} ) + Y ^N

النظرية ذات الحدين لها العديد من الاستنتاجات ، والتي نذكرها أدناه:

• (X + Y) ^ N له مصطلحات N + 1 في التوسع.
• مجموع الدرجات أو المؤشرات لكل عنصر هو N.
• تبدأ الطاقة في X عند N وتنخفض إلى 0.
• تبدأ القوة المؤثرة على Y عند 0 وتزداد إلى N.
• تعتبر هذه المعاملات هي نفسها.

مثال على نظرية ذات الحدين

بالنسبة للمعاملات ذات الحدين والتوسعات ذات الحدين ، يمكن العثور على الأمثلة التوضيحية التالية:

مثال 1: أوجد المعامل ذي الحدين C (5،3).

حل:

• C (N ، R) = N! / (R! (N − R)!)
• ج (5،3) = 5! / (3! (5 – 3)!)
• (5 × 4 × 3!) / (3! × 2!)
• 5 × 4/2!
• 10

مثال 2: أوجد المعامل ذي الحدين C (9،2).

حل:

• C (N ، R) = N! / (R! (N − R)!)
• ج (9،2) = 9! / (2! (9 – 2)!)
• (9 × 8 × 7!) / (2! × 7!)
• 9X8 / 2!
• 36

مثال 3: أوجد المعامل ذي الحدين C (9،7).

حل:

• C (N ، R) = N! / (R! (N − R)!)
• ج (9،7) = 9! / (7! (9-7)!)
• (9 × 8 × 7!) / (7! × 2!)
• 9X8 / 2!
• 36

مثال 4: تحديد امتداد (X + Y) ^ 5.

حل:

• لاحظ أن N = 5 ، لذلك سيكون هناك 5 + 1 = 6 عناصر ، كل منها يحتوي على 5 مجموعات ، بترتيب تنازلي لقوى X
• أدخل X ⁵ ، ثم قلل أس X بمقدار 1 لكل مصطلح تالي حتى يتم الوصول إلى X ⁰ = 1.
• أدخل Y ⁰ = 1 ، ثم ارفع Y للقوة 1 حتى تصل Y إلى ⁵
• بعد دخول X و Y ، يصبح:
• X ^ 5 ، X ^ 4Y ، X ^ 3Y ^ ² ، X ^2Y ^ 3 ، XY ⁴ ، Y ⁵
• التمديد كما يلي:
• (س + ص) ⁵ = س ⁵ + 5 (س ⁴ ) ص + 10 (س ³ ) (ص ² ) + 10 (س ² ) (ص ³ ) + 5 س (ص ⁴ ) + ص ⁵

المراجعين

1. ، تم استرجاعه في 13/3/2022. ^، تم استرجاعه في 13 مارس 2022.
2. ^، تم استرجاعه في 13 مارس 2022.
3. جاي أبرامسون ، تم استرجاعه في 13 مارس 2022.